Es importante ubicarnos geográficamente en los lugares donde los filósofos y matemáticos que vamos a mencionar vivieron y desarrollaron la mayoría de sus obras.

Alejandría

Alejandría está situada al norte de Egipto, Esta fue fundada por Alejandro Magno,en el 332 a.C. Tras su fallecimiento, esta parte del Imperio macedónico fue heredado por uno de sus generales, Ptolomeo I. Este mandó construir en Alejandría el palacio que sería utilizado por toda su dinastía. En el año 46 a.C. Roma comenzó a ejercer un papel fundamental en el devenir de Egipto al ocupar Alejandría Julio César, tomando parte en la lucha dinástica de los ptolomeos a favor de Cleopatra VII. A la muerte de César el papel preponderante en el trono alejandrino junto a Cleopatra fue ocupado por Marco Antonio. La guerra civil entre éste último y Octavio Augusto finalizó con la victoria del segundo tras la batalla de Actium y el suicidio de Marco Antonio y Cleopatra. Así, en el 30 a.C. Egipto pasó a convertirse en una nueva provincia romana, propiedad directa del emperador. A principios del siglo II d.C., Alejandría sufrió duramente a causa de un levantamiento judío contra Roma, lo que propició posteriormente su reconstrucción gracias al emperador Adriano. En el 365 d.C. la ciudad fue nuevamente castigada, esta vez por un tsunami. A finales del siglo IV d.C. y durante la siguiente centuria, se produjeron violentas persecuciones por parte de los cristianos contra los practicantes de las religiones paganas, reduciendo a escombros sus templos. El siglo VII d.C. supuso el fin del dominio bizantino sobre la ciudad, primero con su conquista por parte de los persas sasánidas y en el 641 d.C. con la llegada de los árabes.

La Biblioteca de Alejandría

La Biblioteca Real de Alejandría o Antigua Biblioteca de Alejandría, fue en su época la más grande del mundo. Situada en la ciudad egipcia de Alejandría, se estima que fue fundada a comienzos del siglo III a. C. por Ptolomeo I Sóter, y ampliada por su hijo Ptolomeo II Filadelfo, llegando a albergar hasta 900 000 manuscritos. La biblioteca fue construida sobre la ciudad que Alejandro Magno fundó tras liberar a Egipto de los persas. Su idea fue la de fundar una ciudad que ilumine el Saber del mundo entero, en su afán de mezclar todas las creencias religiosas, el saber universal y las razas. Tras su muerte en el 323 a. C., su obra fue puesta en marcha por su amigo y comandante, Ptolomeo I, quien quedó como regente del reino de Egipto, y dando comienzo a la dinastía ptolemaica, de ascendencia helenica.

La diversidad geográfica de los eruditos muestra que la Biblioteca era de hecho un gran centro de investigación y aprendizaje. En 2004, un equipo egipcio encontró lo que parece ser una parte de la biblioteca mientras excavaba en el Brucheion. Los arqueólogos descubrieron trece salas de conferencias, cada una con un podium central. Zahi Hawass, el presidente del Consejo Supremo de Antigüedades de Egipto, calcula que en las salas excavadas hasta ahora se habría podido acoger a unos 5.000 estudiantes,2 lo que indica que era una institución muy grande para su época. En el siglo II a. C., Eumenes II fundó un centro a imitación de la Biblioteca en Pérgamo.

A continuación se muestra un vídeo donde se ilustra, Alejandria.

La escuela de Alejandría

La ESCUELA DE ALEJANDRÍA llamada así, o también como la Escuela neoplatónica de Alejandría, se creó durante el siglo III d.C. gracias a la figura de Ammonio Saccas. Fue un filósofo de dicha ciudad, y a él se le atribuye la creación de esta escuela. Nació en el año 175d.C y falleció en el 242 d.C. Se cree que creció bajo las creencias y la educación del Cristianismo, pero, posteriormente se decantó por el paganismo. Sus doctrinas se transmitieron oralmente, por ello, que no ha llegado nada de éstas a través de su mano.

La escuela era una más de aquella época a la que consideraban pagana, puesto que seguían los conocimientos y estudios griegos en una época en la cual el cristianismo estaba en expansión. Su existencia coincidió con la de otras escuelas famosas como fueron la de Roma, Siria, Pérgamo y Atenas. A la escuela de Alejandría, datada entre los siglos III al V, se le unieron estudiosos de renombre como fue el caso de nuestra protagonista en esta revista digital, Hipatia. Al igual que en otros centros educativos, su existencia y duración se debía gracias a las ayudas del municipio y a las aportaciones de los estudiantes. Sobre la docencia, los estudios que allí se impartían eran organizados en tres escalones, que eran los habituales que se estudiaban en aquella época: la gramática, la retórica y la filosofía

EPISTEMOLOGÍA

Hiparco, Ptolomeo, Hipatia, Apolonio y Papus

SISTEMA GEOCÉNTRICO

El orden de las luminarias entorno a la Tierra es: Luna, Mercurio, Venus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno y las Estrellas. La Teoría Solar, Lunar y Planetaria de Ptolomeo tienen los mismos principios: se mueven sobre epiciclos (del griego, epi, sobre, y kyklos, círculo, es decir "sobre el círculo") y éstos a su vez sobre deferentes (círculo descrito por el centro del epiciclo). Se sabe que este sistema de deferentes y epiciclos fue diseñado por Apolonio de Perge (S. III a. C.).

ARMILAR ECUATORIALː

Principio de un Armilar Ecuatorial formado por un semi-aro cóncavo de bronce graduado horario, ubicado (inclinado) en forma paralela al plano del Ecuador celeste. A lo largo y por el medio del mismo hay una línea que representa el Plano del Ecuador, y al coincidir con ella el centro de la sombra circular proyectada por la pequeña esferita ubicada en medio de un alambre que une el medio de los extremos del semi-aro, es el instante en que se produce el equinoccio en hora solar local. Desde esta “lectura”, sobre el semi-aro, hasta la del siguiente año (aproximadamente en la misma fecha) se determina, según Hiparco y Ptolomeo, el Año Tropical de 365,24666666667 días o 365 días 5 horas 55 minutos 12 segundos (en notación antigua 365;14,48 días). Los valores actuales son 365,242198 días o 365 días 5 horas 48 minutos 45,9072 segundos siendo menor unos 11 minutos 14,0928 segundos respecto de los 365,25 días o 365 días 6 horas .

Esta diferencia hizo que en Octubre del año 1582 se realizara la Reforma Gregoriana sobre el Calendario Juliano dado que se cumplían los solsticios y equinoccios 10 días antes de los 21 en ambos casos, de ahí que el 05.10.1582 pasa a ser 15.10.1582 más la regla que no serán bisiestos las centurias no divisibles por 400 (Ej. 1700, 1800 y 1900).

El día bisiesto, como se dijo, se daba cada 4 años en el Calendario Juliano (de 365,250 días) y comparado con el año tropical (de 365,242 días) se acumulaba 1 día cada 128 años adelantándose así el Equinoccio respecto del 21 de Marzo y en un período desde el 300 al 1582 se adelantó tal Equinoccio 10 días antes del 21 de Marzo, es decir se cumplía el 11 de Marzo en 1582.

Es por ello que el Papa Gregorio XIII con la ayuda del sabio astrónomo calabrés Luigi Lilio, pasó el día siguiente del 4 de Octubre de 1582 al 15 de Octubre de ese mismo año para que en el 1583 el Equinoccio volviera a ocurrir el 21 de Marzo, además de considerar nuevamente un bisiesto cada 4 años y que no lo fuesen los años que caen en las centurias que no son divisibles por 400 (resultado o cociente distinto al entero), por ejemplo: el 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos, pero si el 2000. El 2100, 2200 y 2300 no lo serán, sí el 2400. De esta manera y con la nueva regla de las centurias no quedaría desfasado el 21 de Marzo con el Equinoccio, el otro Equinoccio y los Solsticios.

Reforma Gregoriana del Calendario Juliano.

El astrolabio

Esfera armilar de Ptolomeo, astrolabio esférico.

La esfera armilar o astrolabio esférico es un instrumento astronómico que aparece por primera vez en el siglo III a.C. Probablemente diseñado por Eratóstenes, director de la Biblioteca de Alejandría. Pero se asocia más con Ptolomeo, que fue quien lo perfeccionó en el s. II.

La esfera armilar representa el modelo geocéntrico del Cosmos. Las antiguas civilizaciones griega y babilónica creían que la Tierra era el centro del Universo. El Sol, la luna, los planetas y las estrellas giraban alrededor de ella. Aristóteles, Platón y la tradición cristiana también adoptaron esta visión. El hombre era el centro de la Creación.

En una esfera armilar la Tierra aparece en el centro. Mediante un complejo sistema de giros, Ptolomeo logró explicar el aparente retroceso en el movimiento de los planetas. La esfera de Ptolomeo era tan precisa que incluso hoy puede utilizarse para orientarse en la navegación marítima. Aunque sabemos que su sistema está equivocado, si tomamos nuestra posición como fija, la posición de las estrellas que indica el astrolabio coincide con la que podemos ver en el cielo.

Astrolabio de al-Sahlî, del siglo XI (M.A.N., Madrid).

El astrolabio era usado por los navegantes, astrónomos y científicos en general para localizar los astros y observar su movimiento, para determinar la hora a partir de la latitud o, viceversa, para averiguar la latitud conociendo la hora. También sirve para medir distancias por triangulación.

Los marineros musulmanes a menudo lo usaban también para calcular el horario de oración y localizar la dirección de La Meca. Durante los siglos XVI a XVIII, fue utilizado como el principal instrumento de navegación marítima, hasta la invención del sextante, en 1750.

APOLONIO DE PERGA

Nació alrededor del 262 A.C. en Perga, Grecia Ionia (hoy Turquía). Cursó estudios en Alejandría y luego visitó Pérgamo. Fue conocido como "El gran geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral. Ideó el tornillo, inventado en el año 200 AC.. El invento se generó a partir del desarrollo de la geometría de la hélice espiral. Creó los cimientos de la geometría a través de un compendio de 8 libros titulados Tratado de las cónicas.

Los libros del 1 al 4 no contienen material original pero introducen las propiedades básicas de cónicas que fueron conocidas por Euclídes, Aristóteles y otros. Los libros del 5 al 7 son originales; en estos discute y muestra como muchas de las cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. Da proposiciones determinando el centro de curvatura lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución. El libro número 8 de "Secciones Cónicas" está perdido, mientras que los libros del 5 al 7 sólo existen en traducción Arábica. Sabemos que obtuvo una aproximación de pi entre 22/7. Consideró un solo cono y hace variar la oblicuidad del plano que lo corta. En "On the Burning Mirror" mostró que rayos de luz paralelos no caen a un foco en un espejo esférico (como ha sido previamente pensado) y discutió las propiedades focales de un espejo parabólico. También fue fundador de la astronomía matemática griega, la cual usó modelos geométricos para explicar la teoría planetaria. Además se le atribuye la invención del reloj solar. Falleció alrededor del 190 A.C en alejandría, Egipto.

Fue célebre también por su tratado "Secciones Cónicas". El estudio de las cónicas se refiere a las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se le aproxima mucho. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema.

Apolonio demostró por primera vez y de una manera sistemática que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas con sólo variar la inclinación del plano secante al cono. Éste fue un paso decisivo en el proceso de unificar los tres tipos de curvas. Llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja por un cono de dos hojas (par de conos orientados en sentido opuesto, con vértices coincidentes y ejes sobre la misma recta).

Otra generalización importante que demostró es que el cono no necesita ser recto (de eje perpendicular al plano de su base), sino que puede igualmente tomarse un cono circular oblicuo o escaleno para que al intersecarse con diferentes planos forme todas las cónicas. Mostró que rayos de luz paralelos no caen a un foco en un espejo esférico (como ha sido previamente pensado) y discutió las propiedades focales de un espejo parabólico (de ahí que las ópticas de los autos suelen tener forma de paraboloide).

A diferencia de la mayoría de los sabios de su época, Apolonio se especializó en una sola rama de la matemática, de manera similar a como se suele hacer en nuestra época, de ahí la profundidad de su trabajo. Pappus de Alejandría (290-350) definió las cónicas mediante la razón constante entre las distancias a un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz), pero debieron pasar dos mil años antes de que alguien más realizara descubrimientos de interés acerca de las cónicas que no aparezcan en la obra de Apolonio “El Gran Geómetra” de Perga.

¿Qué se sabía sobre las secciones cónicas antes de Apolonio? Las secciones cónicas se conocían desde hacía más o menos un siglo y medio antes. Menecmo introduce estas curvas como secciones de un cono circular recto por un plano perpendicular a una generatriz.

La parábola fue llamada sección de cono rectángulo (ortotoma):

La elipse era la sección de cono acutángulo (oxitoma):

Y la hipérbola (solo se consideró una rama de ella) la sección de cono obtusángulo (amblitoma):

Arquímedes se especializó en propiedades de la parábola. Los importantes resultados de Arquímedes acerca del área del segmento parabólico, aplicando el método de exhaución en la obra Sobre la Cuadratura de la Parábola y el método mecánico en la obra El Método pone de relieve el avanzado desarrollo de la teoría de las secciones cónicas en la época de Arquímedes, ya muy próxima a los tiempos en que Apolonio concibió las Cónicas.

Debido a la perfección de la obra de Apolonio, los tratados que sobre cónicas fueron escritos antes fueron desplazados y olvidados.

La obra de las Cónicas de Apolonio fue explicada por él mismo en el Libro I. Le escribe a Eudemo:

"Creo que no habrás olvidado, porque ya te lo he contado antes, que fue a instancias de Naucrates el geómetra, que fue mi huésped durante su estancia en Alejandría, por lo que me introduje en este campo y que, cuando él estaba a punto de embarcarse, me apresuré a ponerle al corriente de lo que yo había ya elaborado, en ocho libros, sin poner demasiado cuidado en su perfección, sino anotando todo lo que se me ocurría, con la intención de hacer una ulterior revisión. Ahora que he tenido la ocasión de establecer las cosas por sus pasos de una manera adecuada, las publico. Y puesto que sucede que algunos de los que han tratado conmigo han recibido los libros primero y segundo antes de que hubiesen sido revisados, no te extrañes de encontrar en ellos cuestiones tratadas de una manera diferente...".

Más tarde, ya en Pérgamo, Apolonio se tomó el tiempo necesario para perfeccionar uno a uno los ocho libros, lo que explica que los libros del IV al VII comiencen con dedicatorias y agradecimientos al rey Atalo de Pérgamo.

Los cuatro primeros libros son descritos por Apolonio como una introducción elemental y se supone que la mayor parte del material había aparecido publicado en anteriores tratados sobre cónicas. Sin embargo, Apolonio nos dice expresamente que algunos de los teoremas contenidos en el Libro III son suyos propios, ya que Euclides no había dado un tratamiento completo de los lugares geométricos que aparecen en dicho libro. Apolonio afirma que los cuatro últimos libros son extensiones de la materia que van más allá de lo esencial.

Antes de Apolonio, la elipse, la parábola y la hipérbola se obtenían como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según que el ángulo en el vértice fuese agudo, recto u obtuso. Apolonio demostró por primera vez y de una manera sistemática que no es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a una generatriz del cono, y que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al cono; este paso fue importante para unificar los tres tipos de curvas.

Otra generalización importante se llevó a cabo cuando Apolonio demostró que el cono no necesita ser un cono recto, es decir, tal que su eje sea perpendicular al plano de su base circular, sino que puede igualmente tomarse un cono circular oblicuo. Se podría decir que Apolonio fue el primer geómetra que demostró que las propiedades de estas curvas son las mismas, se obtengan como secciones de conos oblicuos o de conos rectos.

Apolonio llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja por un cono de dos hojas. Este cambio convierte a la hipérbola en la curva de dos ramas tal como la conocemos hoy. Hasta entonces los geómetras solían hablar de "las dos hipérbolas" en vez de "las dos ramas" de una hipérbola única, pero en cualquier caso el carácter dual de la curva fue reconocido claramente a partir de Apolonio.

Durante siglo y medio las cónicas fueron nombradas por el modo en que eran obtenidas: ortotoma, oxitoma, amblitoma. Según parece, Arquímedes utilizaba parábola como sinónimo de ortotoma. Apolonio elegiría los nombres de parábola, elipse, hipérbola, por sugerencia de Arquímedes; estas palabras ya tenían uso entre los pitagóricos para clasificar las soluciones de ecuaciones cuadráticas mediante áreas: ellipsis (deficiencia), hyperbola(avanzar más allá, exceso), parabola (colocar al lado, compararable).

Apolonio aplicaría estas palabras en un contexto nuevo, teniendo en cuenta las propiedades analíticas de las cónicas. Apolonio, a diferencia de los anteriores geómetras griegos, dio un paso importante al prescindir del cono, finalmente, para definir las cónicas. A partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental o "síntoma" de la sección, dando una condición necesaria y suficiente para que un punto esté sobre la curva. Fue a partir de ese momento que Apolonio abandona el cono y procede a estudiar las curvas por métodos planimétricos exclusivamente.

Los nombres escogidos por Apolonio fueron tan acertados que han quedado firmemente asociados a las cónicas hasta nuestros días.

Cónicas, manuscrito, biblioteca del Vaticano

En el Libro I desarrolla la teoría de los diámetros conjugados en una cónica y utiliza un par de diámetros conjugados como un sistema de coordenadas oblicuas, lo que equivaldría al uso actual de un par de rectas perpendiculares como ejes de coordenadas.

Apolonio demuestra que los puntos medios del conjunto de las cuerdas paralelas a un diámetro, de una elipse o hipérbola, están situados sobre un segundo diámetro y denomina a ambos: "diámetros conjugados".

Demostró que si se traza una recta por un extremo de un diámetro, de una elipse o hipérbola, que sea paralela al diámetro conjugado, entonces dicha recta será tangente a la cónica.

En el Libro II continúa el estudio de los diámetros conjugados y las tangentes. Muestra cómo trazar tangentes a una cónica usando la propiedad de la división armónica de un segmento.

Apolonio estaba especialmente orgulloso del Libro III:

" El tercer libro contiene muchos teoremas notables que son útiles para la síntesis de lugares sólidos y la determinación de límites; la mayoría de estos teoremas, y a la vez los más bellos, son nuevos, y cuando los descubrí pude observar que Euclides no había tratado la síntesis de los lugares geométricos con respecto a tres y cuatro rectas, sino solo los casos fáciles, y aún así sin éxito, porque era imposible completar esta síntesis sin contar con mis descubrimientos adicionales."

El lugar geométrico con respecto a tres y cuatro rectas al que se refiere Apolonio trata de que "dadas tres rectas en un plano, hallar el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal manera que el cuadrado de la distancia de P a una de esas tres rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos; en el caso de cuatro rectas, el producto de las distancias a dos de ellas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos, el lugar geométrico buscado es una sección cónica, real o imaginaria.

Pappus propondría una generalización de este teorema a n rectas.

Apolonio conocía bien las propiedades de la hipérbola referida a sus asíntotas tomadas como ejes. En una proposición del libro aparece la hipérbola como lugar geométrico de puntos tales que x·y = constante, siendo x e y abscisa y ordenada respecto a las asíntotas.

El Libro IV trata de cuántas maneras pueden cortarse unas cónicas a otras. Fue en relación con el desarrollo de los teoremas de este libro que Apolonio hace un comentario que nos indica que en su época, lo mismo que hoy, había obtusos adversarios de la matemática que le preguntaban por la utilidad de tales resultados. Apolonio contesta orgulloso:

"Merecen ser aceptados a causa de sus propias demostraciones, de la misma manera que aceptamos muchas otras cuestiones en la matemática por esta misma razón y no por ninguna otra."

El Libro V está dedicado a estudiar segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica. Es el más sorprendente de todos sus libros. Se puede decir que en él Apolonio, 20 siglos antes que Huygens (Horologium Oscillatorium, 1673) introduce ya, a su modo, con instrumentos puramente sintéticos, nociones tales como normal a una curva, evoluta, centro de curvatura, etc,.. y logra obtener estos elementos para las cónicas de la manera más rigurosa.

Consideraciones de Apolonio en el prólogo al Libro V:

"En este libro quinto he expuesto proposiciones relativas a los segmentos de máxima y mínima distancia. Han de saber que mis predecesores y contemporáneos solo superficialmente han tratado la investigación de las líneas de distancia mínima y solamente han probado qué líneas rectas tocan a las secciones cónicas y qué propiedades tienen en virtud de ser tangentes. Por mi parte yo he probado estas propiedades en el Libro I.

Las proposiciones en las que trato los segmentos de distancia mínima las he separado en clases y he tratado cada una con una demostración cuidadosa. También he puesto en conexión estas cuestiones con las relativas a los segmentos de distancia máxima, porque consideraba que los que cultivan esta ciencia las necesitan a fin de obtener un conocimiento del análisis y discusión de los problemas así como de su síntesis. Por otra parte, esta materia es una de esas que parecen dignas de estudio por sí mismas."

Los métodos que utiliza Apolonio en las Cónicas son tan semejantes en muchos aspectos al planteamiento analítico moderno que su obra se ha considerado a menudo como una anticipación de la geometría analítica de Descartes en 1800 años. El uso de unas rectas de referencia en general y de un diámetro y una tangente en uno de sus extremos en particular, no difiere esencialmente del uso de un sistema de coordenadas rectangular u oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro a partir de un punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente, interceptada por el diámetro y la curva, son las ordenadas. Las relaciones que expresa Apolonio entre estas abscisas y las ordenadas no son otra cosa que formas retóricas de las ecuaciones analíticas de las curvas.

Cónicas, manuscrito de Oxford, Bodleian Library

La influencia de Apolonio en los geómetras griegos y árabes fue muy profunda. No en vano Apolonio fue llamado el Geómetra de la Antigüedad.

La obra de Apolonio comienza a filtrarse hacia Occidente lentamente a través de la matemática árabe.

Papo de Alejandría

Pappus de Alejandría nace en el 290'ac en Alejandría y muere en el 350, Siendo uno de los mas grandes geómetras griegos, Y siendo uno de sus teoremas un elemento fundamental en el proyecto de la geometría moderna , No ay gran conocimiento sobre la vida de Pappus, Se sabe que vivió en el tiempo del emperador Theodosio el Mayor. Nació En Alejandría y vivió toda su vida en esta ciudad, que dedico trabajos a Hermodorus (su hijo), Pandrosion y Megathion .Pappus menciona a un amigo llamado Hierius, también filosofo y quien lo animo a estudiar ciertos problemas matemáticos .

Pappus autor de la Colección Matemática, en la que se presenta un panorama histórico de la matemática clásica y se comentan los trabajos de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y otros, y se incluyen algunas demostraciones alternativas y nuevas proposiciones geométricas a esta obra en ocho libros, casi todos conservados excepto el primero y parte del segundo, Los cuales contienen una serie de problemas que introducen nociones geométricas importantes, como el foco de una parábola o la directriz de una cónica, y los enunciados de muchos teoremas, entre ellos el que expresa la superficie y el volumen de las figuras de revolución .

En el libro V explica sobre la habilidad matemáticas de las abejas al construir las celdillas de sus paneles de miel.

''Al final de un largo párrafo dedicado a las figuras isoperimétricas y a la elección, por parte de las abejas, del hexágono, Pappus concluye: “Las abejas conocen solamente lo que les es útil, o sea que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que con una misma cantidad de materia gastada para la construcción de cada figura, el hexágono podrá contener más miel. Pero, en cuanto a nosotros, que pretendemos poseer una parte mayor que las abejas en la sabiduría, investigaremos algo más amplio, a saber, que de todas las figuras planas equiláteras y equiángulas de idéntico perímetro, la que tiene un número mayor de ángulos es siempre mayor, y la mayor de todas es el círculo que tiene su mismo perímetro”.

TEOREMA DEL HEXÁGONO DE PAPPUS:

Si en un par de rectas se escogen en tres puntos al azar en cada una y los Unimos dos a dos, Las intersecciones de las rectas que los unen estarán en una linea recta, este teorema establece que las tres intersecciones de las lineas azules son colineales . Un caso particular es el Teorema de Pascal que afirma lo mismo para cualquier cónica.

ALGUNAS PREGUNTAS EPISTEMOLOGICAS DE APOLONIO

¿Por qué Apolonio era conocido como el gran Geometra?

Por su tratado sobre secciones conicas, introdujo las nociones de parabola, elipse e hiperbola espiral.

¿cómo visualizo Apolonio que de un cono cualquiera, al cortarlo con un plano se podian obtener 4 conicas?

Apolonio habia estudiado "estudios anteriores a él" sobre intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniendo elipses, parábolas o hipérbolas, según el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso respectivamente.

¿Por qué los resultados obtenidos por Apolonio fuerón los únicos que existierón hasta Fermat y Descartes en la geometria analitica retomaron el problema?

Debido a la profundidad del trabajo de Apolonio en la geometria, los trabajos que se hicierón antes y a la par con Apolonio, fueron olvidados y desterrados, es decir que los estudios de otras personas en la geometria no se les considero importantes o relevantes, y estos trabajos quedarón en el olvidado.

¿Qué necesidad llevo a Apolonio a explicar la teoría planetaria?

Debido a las multiples dudas y preguntas de esas epocas sobre como funcionaba el universo, llevo a Apolonio a usar modelos geometricos para tratar de entender como funcionaba el universo, los epiciclos fue uno de los modelos geometricos principales que uso Apolonio.